凯利公式
Seventy Years of Kelly
一条只有半行长的公式，七十年里救过 21 点高手、债券之王、香港赛马客、华尔街对冲基金——它讲的不是怎么赢钱，而是怎么不输光。F-Star 把这套纪律落成链上可运行的代码、可验证的回测、可实盘的配置。
《下注的智慧》
凯利公式的七十年传奇 · 从贝尔实验室到华尔街、从赛马场到加密市场
十三个故事，每个故事里都有一个真实的人和他与这条公式的相遇：Kelly、香农、索普、债券之王 Bill Gross、巴菲特、香港赛马的 Bill Benter，以及反面教材 LTCM。故事之间，藏着这条公式七十年的演化史。读完你会发现：它骨子里讲的不是「怎么赢」，而是「怎么不输光」。
作者 Robert B. · 2026 年春写于新加坡 · 英文原版，中文为翻译版
七十年大事年表
从香农的信息论，到 AI 时代的凯利
- 1
1948 · 信息论奠基
香农发表《通信的数学理论》，为凯利公式埋下种子。
- 2
1956 · 半行公式诞生
John L. Kelly Jr. 在贝尔实验室发表 A New Interpretation of Information Rate。
- 3
1960–1962 · 走进赌场
香农把论文递给索普；Breiman 证明其长期主导性；索普里诺实战 21 点，出版《Beat the Dealer》。
- 4
1971 · 走上华尔街
PIMCO 成立（Bill Gross 是创始团队）；Merton 推导连续时间凯利公式。
- 5
1988 · 复利的力量
巴菲特大举买入可口可乐；索普的 PNP 在十九年无亏损季度后清盘。
- 6
1994–1998 · 反面教材
LTCM 以 30 倍杠杆成立，1998 年三个月亏损 90%，美联储出手救援。
- 7
2001 · 十亿美元
Bill Benter 退休，香港赛马累计盈利约 10 亿美元。
- 8
2023–2026 · AI 时代
大语言模型集成入凯利系统，「反对信」流程标准化；本书出版。
十三个故事，七位主角
真正用它的人都活了下来——靠的是纪律，不是聪明
John L. Kelly Jr.
1956贝尔实验室的物理学家，把「拥有内幕电话的赌徒」思想实验推到尽头，写下半行公式。41 岁中风去世，从没用过自己的公式。
克劳德·香农
SHANNON信息论之父，把 Kelly 的论文递给索普；自己用这条公式投资，三十年年化 28%。
爱德华·索普
THORP数学教授，72 小时打爆里诺赌场，再把凯利带上华尔街——PNP 十九年没有一个亏损季度。
Bill Gross
债券之王从 200 美元的 21 点起步，到 PIMCO 两万亿管理规模；他的「2% 规则」正是凯利公式的精髓。
沃伦·巴菲特
OMAHA从不写公式，却把凯利式集中重注做到极致：美国运通、可口可乐、苹果。芒格说「四只股票就够了」。
Bill Benter
香港赛马匹兹堡物理硕士，靠一百多个变量的概率模型加一条 1956 年的公式，在香港赛马场赚走 10 亿美元。
LTCM
反面教材两位诺奖得主、30 倍杠杆，1998 年三个月蒸发 46 亿美元——如果他们听过这条公式，本可以活下来。
萨缪尔森
争议诺奖得主用全篇单音节英文单词写论文羞辱凯利公式；七十年后，用它的人都还在。
公式，即代码
书里的每条公式，都是 F-Star 引擎里在跑的代码
凯利公式不止一个形态：二元赌局、连续市场、风险厌恶调整——书的附录 A 给出速查表，F-Star 的 lib/kelly-formulas.ts 把它们逐条实现，数值与书中表格逐一对齐。
// f* = (b·p − q)/b, q = 1−p；等赔率 b=1 → 2p−1
export function binaryKelly(p: number, b: number): number {
const q = 1 - p;
return (b * p - q) / b;
}
// binaryKelly(0.60, 1) === 0.20 ← 与书表一致// f* = (μ − r) / σ²
export function continuousKelly(mu: number, sigma: number, r: number): number {
return (mu - r) / (sigma * sigma);
}
// S&P500 (μ=10%, σ=16%, r=3%) → 273% 满凯利 / 68% 四分之一凯利
// BTC (μ=25%, σ=70%, r=2%) → 47% 满凯利 / 12% 四分之一凯利| 标的 | Μ | Σ | 满凯利 Π* | 1/4 凯利 |
|---|---|---|---|---|
| S&P 500 | 10% | 16% | 273% | 68% |
| 沪深 300 | 8% | 22% | 124% | 31% |
| BTC | 25% | 70% | 47% | 12% |
把单资产凯利推广到多策略组合，就是 F-Star /allocate 背后的 lib/kelly.ts：按夏普估边际、分数凯利定权、风险上限约束——正是这套数学，在 Arbitrum One 上把资金配置到 NovaMarket 头部策略池。
为什么是四分之一凯利
附录 A.4：少赚一点，换来的是活下来
满凯利在数学上增长最快，却有约一半概率在长期里破产。分数凯利用一点点增长，换来存活率的巨大提升——这就是 F-Star /allocate 默认四分之一凯利的原因。
| 凯利分数 | 几何增长保留 | 波动（相对满凯利） | 长期不破产概率 |
|---|---|---|---|
| Full · 满凯利 | 100% | 100% | ~50% |
| 3/4 | 94% | 75% | ~80% |
| Half · 半凯利 | 75% | 50% | ~90% |
| Quarter · 1/4 凯利 | 44% | 25% | >99% |
数据由 lib/kelly-formulas 按附录 A.4 的数学确定性计算（增长保留 = 2α − α²）；示意用途，非收益承诺。
从公式到实盘
F-Star 就是这套数学的活样板
- 1
理论 · 书
《下注的智慧》讲清七十年里这条公式如何救人、如何被忽略——纪律的来处。
- 2
代码 · lib/kelly
附录 A 的每条公式都是 F-Star 引擎里在跑的 TypeScript，数值与书表逐一对齐。
- 3
回测 · 分数凯利
满 / 半 / 四分之一凯利的增长-波动-存活对照，论证四分之一凯利的默认。
- 4
实盘 · /allocate
这套数学正在 Arbitrum One 运行：选 NovaMarket 策略 → 凯利定权 → 一次签名把资金配置进去。
主网灰度阶段 · 非投资建议、非收益承诺；预期为目标 / 估算。这套样板讲的是「不输」的纪律，不是「赢」的许诺。